Le Coordinate In Generale

[Visitatore Marcuzzo]

Le coordinate

 

Le coordinate sono un insieme di numeri che descrivono la posizione -- la posizione lungo una linea, su una superficie o nello spazio. Latitudine e longitudine, o ascensione retta e declinazione, sono entrambi sistemi di coordinate sulla superficie di una sfera -- sul globo terrestre o sulla sfera celeste.

 

Le coordinate su un piano

Cartesio

René Descartes

 

Il sistema più ampiamente usato è quello delle coordinate cartesiane, basato su un insieme di assi perpendicolari tra loro. Queste coordinate prendono il nome da René Descartes (Cartesio), un filosofo e scienziato francese che nel '600 ideò un modo di "etichettare" ogni punto di un piano con una coppia di numeri. Sicuramente questo sistema vi sarà abbastanza familiare.

 

Il sistema è basato su 2 linee rette ("assi"), perpendicolari tra loro, ciascuna delle quali è graduata con le distanze dal punto in cui esse si incontrano ("origine"). Le distanze a destra e al di sopra dell'origine sono contate come positive, e negative dalla parte opposta (ved. disegno qui sotto).

 

Coordinate su un piano

 

La distanza su un asse è indicata con la lettera "x", e sull'altro asse con "y". Dato quindi un punto P, si tracciano da esso le parallele agli assi, e i valori x e y sulle intersezioni definiscono completamente il punto. In onore di Descartes (Cartesio), questo modo di etichettare i punti è noto come sistema cartesiano e i due numeri (x,y) che definiscono la posizione di ogni punto sono le sue coordinate cartesiane.

 

 

Nei grafici è usato questo sistema, come pure sulle mappe.

 

Coordinate nello spazio Tutto questo funziona bene su un foglio di carta piano, ma il mondo reale è a 3 dimensioni e talvolta occorre specificare un punto nello spazio tridimensionale. Il modo (x,y) di etichettare un punto su un piano può essere esteso a 3 dimensioni, aggiungendo una terza coordinata z. Se (x,y) è un punto su un piano, il punto (x,y,z) nello spazio si raggiunge partendo da (x,y) e poi sollevandosi di una distanza z sopra il foglio di carta (i punti sotto il foglio avranno una z negativa).

 

 

Molto semplice e chiaro, purché si sia deciso da quale parte del foglio la z sia positiva. Per comune accordo, i rami positivi degli assi (x,y,z), in quest'ordine, corrispondono al pollice, all'indice e al medio della mano destra aperta in modo che le dita abbiano il massimo angolo tra di loro.

 

 

Coordinate polari

Coordinate polari (r, phi) Le coordinate cartesiane (x,y) non sono l'unico modo di descrivere la posizione di un punto P su un piano mediante una coppia di numeri. Esistono anche altri modi, e in certe situazioni possono essere più utili.

 

 

Un sistema ("coordinate polari") usa la lunghezza del segmento OP dall'origine a P (cioè la distanza di P dall'origine) e l'angolo che il segmento fa con l'asse x. Gli angoli sono spesso indicati con le lettere greche, e qui seguiremo questa convenzione, indicandolo quest'angolo con φ (la lettera greca phi). Si noti che nel sistema cartesiano x e y giocano ruoli molto simili, mentre invece qui i ruoli sono divisi: r dà la distanza e φ la direzione.

 

Le due rappresentazioni sono strettamente collegate. Dalla definizione di seno e coseno

 

x = r cos φ

y = r sin φ

 

In questo modo è possibile ricavare (x,y) dalle coordinate polari. Per andare in verso opposto e ricavare (r,φ) da (x,y), notiamo che dalle precedenti equazioni (oppure dal teorema di Pitagora) si può ricavare r:

 

r2 = x2 + y2

 

Una volta noto r, il resto è facile

 

cos φ = x/r

sin φ = y/r

 

Queste relazioni cessano di valere all'origine, dove x = y = r = 0. In quel punto φ è indeterminato e gli si può assegnare un valore qualsiasi.

 

Nello spazio tridimensionale, il sistema cartesiano (x,y,z) è elegantemente simmetrico, ma talvolta è conveniente utilizzare la struttura delle coordinate polari e indicare la distanza e la direzione separatamente. Per la distanza è facile: si traccia il segmento OP dall'origine al punto e si misura la sua lunghezza r. Si può anche dimostrare, dal teorema di Pitagora, che in questo caso

 

r2 = x2 + y2 + z2

 

Tutti i punti con lo stesso valore di r formano una sfera di raggio r e centrata nell'origine O. Su una sfera si può individuare ogni punto mediante la latitudine λ (la lettera greca lambda) e la longitudine φ (la lettera greca phi), in modo che la posizione di ogni punto nello spazio è definita da 3 numeri (r, λ, φ).

 

 

Altezza e azimut

 

Un antico cannocchiale per topografia (teodolite).

 

Il cannocchiale per topografia è stato ideato per misurare questi due angoli. L'angolo φ viene misurato nel piano orizzontale, è chiamato azimut ed è contato a partire dalla direzione nord. Una piattaforma girevole permette di puntare il cannocchiale verso qualunque azimut.

 

L'angolo λ è chiamato altezza (o elevazione) ed è l'angolo di cui il cannocchiale è inclinato rispetto al piano orizzontale (se è puntato verso il basso, l'angolo è negativo). Questa coppia di angoli può specificare, in linea di principio, ogni direzione: φ va da 0 a 360°, e λ da –90° (a perpendicolo verso il basso, o "nadir") a +90° (a perpendicolo verso l'alto, o "zenit").

 

Ancora una volta occorre decidere da quale direzione va contato l'azimut -- cioè qual'è l'azimut zero? La rotazione della volta celeste (e il fatto che la maggior parte dell'umanità vive a nord dell'equatore) suggerisce (per le misure topografiche) di prendere come riferimento la direzione nord, che è in pratica quella che usualmente si prende come azimut zero. L'angolo di azimut (visto da nord) viene misurato in senso antiorario.

 

Tuttavia i matematici preferiscono una loro terminologia e sostituiscono la "latitudine" (o altezza) λ con la co-latitudine θ = 90 – λ gradi, l'angolo cioè non rispetto all'orizzonte, ma rispetto alla verticale. L'angolo θ (la lettera greca theta) va da 0 a 180°, non da –90° a + 90°. Questo in realtà è molto più sensato, poiché è molto più facile misurare l'angolo tra due linee (OP e la verticale) piuttosto che tra una linea e un piano (OP e il piano orizzontale).

 

[Da ricordare: Volendo mettere in relazione la terna (r, θ, φ) con quella cartesiana (x,y,z) con la stessa origine, θ è misurata dall'asse z, e φ è misurata nel piano (x,y), in senso antiorario a partire dall'asse x.]

 

Autore: David P. Stern

Da Nasa.gov

Modificato 27 Marzo, 2008 da Marcuzzo